交換増強因子 - 第一原理分子動力学プログラム STATE Senri Wiki

交換増強因子の表式とパラメータ †

交換エネルギー汎関数

\[ E_{x}[n]=\int{\rm d}\bm{r}\,n\varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)F_{x}(s),\quad \varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)=-\frac{3}{4\pi}k_F,\quad k_F=(3\pi^2n)^{1/3},\quad s=\frac{|\nabla n|}{2k_Fn} \]

における\( F_x(s) \)を交換増強因子と呼ぶ。

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B86b型 †

\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{(1+\mu s^2/\kappa)^{4/5}}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ (\mu\kappa^4)^{1/5}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]

Method	\( \mu \)	\( \kappa \)	\( (\mu\kappa^4)^{1/5} \)	Reference
B86b	0.2449	0.5757	0.485	A. D. Becke, JCP 85, 7184 (1986)
optB86b	0.1234	1	0.658	J. Klimes et al., PRB 83, 195131 (2011)
B86R	0.1234	0.7114	0.501	I. Hamada, PRB 89, 121103(R) (2014)

ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。

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PW86型 †

\[ F_x(s)=(1+15as^2+bs^4+cs^6)^{1/15}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+a s^2&s\rightarrow0\\ c^{1/15}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]

Method	\( a \)	\( b \)	\( c \)	\( c^{1/15} \)	Reference
PW86	0.0864	14	0.2	0.898	J. P. Perdew and Y. Wang, PRB 33, 8800(R) (1986)
PW86R	0.1234	17.33	0.163	0.886	E. D. Murray et al., JCTC 10, 2754 (2009)

ただし\( 7/81\simeq0.0864, \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。

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B88型 †

\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{1+\frac{9}{4\pi}\mu s\,{\rm sinh}^{-1}(\lambda s)} \]

Method	\( \mu \)	\( \lambda \)	Reference
B88	\( 0.2743 \)	\( 2(6\pi^2)^{1/3} \)	A. D. Becke, Phys. Rev. A 38, 3098 (1988)
optB88	\( 0.22 \)	\( 1.2\times(9/2)(6/\pi)^{1/3} \)	J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010)

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PW91型 †

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PBE型 †

\[ F_x(s)=1+\kappa-\frac{\kappa}{1+\mu s^2/\kappa}=1+\frac{\mu s^2}{1+\mu s^2/\kappa}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]

Method	\( \mu \)	\( \kappa \)	Reference
	0.235	0.967	A. D. Becke, J. Chem. Phys. 84, 4524 (1986)
PBE	0.21951	0.804	J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3865 (1996)
revPBE	0.21951	1.245	Y. Zhang and W. Yang, Phys. Rev. Lett. 80, 890 (1998)
PBEsol	0.1235		J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 100, 136406 (2008)
optPBE	0.175519	1.04804	J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010)

ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1235 \)である。

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RPBE型 †

\[ F_x(s)=1+\kappa(1-e^{-\mu s^2/\kappa})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]

Method	\( \mu \)	\( \kappa \)	Reference
RPBE	0.21951	0.804	B. Hammer et al. Phys. Rev. B 59, 7413 (1999)

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C09型 †

\[ F_x(s)=1+\mu s^2 e^{-\alpha s^2}+\kappa(1-e^{-\alpha s^2/2})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+(\mu+\kappa\alpha/2) s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]

Method	\( \mu \)	\( \kappa \)	\( \alpha \)	Reference
C09	0.0617	1.245	0.0483	V. R. Cooper Phys. Rev. B 81, 161104(R) (2010)

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