交換増強因子の表式とパラメータ

交換エネルギー汎関数

\[ E_{x}[n]=\int{\rm d}\bm{r}\,n\varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)F_{x}(s),\quad \varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)=-\frac{3}{4\pi}k_F,\quad k_F=(3\pi^2n)^{1/3},\quad s=\frac{|\nabla n|}{2k_Fn} \]

における\( F_x(s) \)を交換増強因子と呼ぶ。

B86b型

\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{(1+\mu s^2/\kappa)^{4/5}}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ (\mu\kappa^4)^{1/5}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
Method\( \mu \)\( \kappa \)\( (\mu\kappa^4)^{1/5} \)Reference
B86b0.24490.57570.485A. D. Becke, JCP 85, 7184 (1986)
optB86b0.123410.658J. Klimes et al., PRB 83, 195131 (2011)
B86R0.12340.71140.501I. Hamada, PRB 89, 121103(R) (2014)

ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。

PW86型

\[ F_x(s)=(1+15as^2+bs^4+cs^6)^{1/15}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+a s^2&s\rightarrow0\\ c^{1/15}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
Method\( a \)\( b \)\( c \)\( c^{1/15} \)Reference
PW860.0864140.20.898J. P. Perdew and Y. Wang, PRB 33, 8800(R) (1986)
PW86R0.123417.330.1630.886E. D. Murray et al., JCTC 10, 2754 (2009)

ただし\( 7/81\simeq0.0864, \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。

B88型

\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{1+\frac{9}{4\pi}\mu s\,{\rm sinh}^{-1}(\lambda s)} \]
Method\( \mu \)\( \lambda \)Reference
B88\( 0.2743 \)\( 2(6\pi^2)^{1/3} \)A. D. Becke, Phys. Rev. A 38, 3098 (1988)
optB88\( 0.22 \)\( 1.2\times(9/2)(6/\pi)^{1/3} \)J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010)

PW91型

PBE型

\[ F_x(s)=1+\kappa-\frac{\kappa}{1+\mu s^2/\kappa}=1+\frac{\mu s^2}{1+\mu s^2/\kappa}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
Method\( \mu \)\( \kappa \)Reference
0.2350.967A. D. Becke, J. Chem. Phys. 84, 4524 (1986)
PBE0.219510.804J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3865 (1996)
revPBE0.219511.245Y. Zhang and W. Yang, Phys. Rev. Lett. 80, 890 (1998)
PBEsol0.1235J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 100, 136406 (2008)
optPBE0.1755191.04804J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010)

ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1235 \)である。

RPBE型

\[ F_x(s)=1+\kappa(1-e^{-\mu s^2/\kappa})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
Method\( \mu \)\( \kappa \)Reference
RPBE0.219510.804B. Hammer et al. Phys. Rev. B 59, 7413 (1999)

C09型

\[ F_x(s)=1+\mu s^2 e^{-\alpha s^2}+\kappa(1-e^{-\alpha s^2/2})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+(\mu+\kappa\alpha/2) s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
Method\( \mu \)\( \kappa \)\( \alpha \)Reference
C090.06171.2450.0483V. R. Cooper Phys. Rev. B 81, 161104(R) (2010)
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Last-modified: 2019-12-16 (月) 13:47:02 (318d)