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第一原理分子動力学プログラム STATE Senri Wiki
交換増強因子の表式とパラメータ †
交換エネルギー汎関数
\[ E_{xc}[n]=\int{\rm d}\bm{r}\,n\varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)F_{x}(s),\quad \varepsilon_{x}^{\rm LDA}(n)=-\frac{3}{4\pi}k_F,\quad k_F=(3\pi^2n)^{1/3},\quad s=\frac{|\nabla n|}{2k_Fn} \]
における\( F_x(s) \)を交換増強因子と呼ぶ。
B86b型 †
\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{(1+\mu s^2/\kappa)^{4/5}}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ (\mu\kappa^4)^{1/5}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
| Method | \( \mu \) | \( \kappa \) | \( (\mu\kappa^4)^{1/5} \) | Reference |
| B86b | 0.2449 | 0.5757 | 0.485 | A. D. Becke, JCP 85, 7184 (1986) |
| optB86b | 0.1234 | 1 | 0.658 | J. Klimes et al., PRB 83, 195131 (2011) |
| B86R | 0.1234 | 0.7114 | 0.501 | I. Hamada, PRB 89, 121103(R) (2014) |
ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。
PW86型 †
\[ F_x(s)=(1+15as^2+bs^4+cs^6)^{1/15}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+a s^2&s\rightarrow0\\ c^{1/15}s^{2/5}&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
| Method | \( a \) | \( b \) | \( c \) | \( c^{1/15} \) | Reference |
| PW86 | 0.0864 | 14 | 0.2 | 0.898 | J. P. Perdew and Y. Wang, PRB 33, 8800(R) (1986) |
| PW86R | 0.1234 | 17.33 | 0.163 | 0.886 | E. D. Murray et al., JCTC 10, 2754 (2009) |
ただし\( 7/81\simeq0.0864, \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1234 \)である。
B88型 †
\[ F_x(s)=1+\frac{\mu s^2}{1+\frac{9}{4\pi}\mu s\,{\rm sinh}^{-1}(\lambda s)} \]
| Method | \( \mu \) | \( \lambda \) | Reference |
| B88 | \( 0.2743 \) | \( 2(6\pi^2)^{1/3} \) | A. D. Becke, Phys. Rev. A 38, 3098 (1988) |
| optB88 | \( 0.22 \) | \( 1.2\times(9/2)(6/\pi)^{1/3} \) | J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010) |
PW91型 †
PBE型 †
\[ F_x(s)=1+\kappa-\frac{\kappa}{1+\mu s^2/\kappa}=1+\frac{\mu s^2}{1+\mu s^2/\kappa}=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
| Method | \( \mu \) | \( \kappa \) | Reference |
| 0.235 | 0.967 | A. D. Becke, J. Chem. Phys. 84, 4524 (1986) | |
| PBE | 0.21951 | 0.804 | J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 77, 3865 (1996) |
| revPBE | 0.21951 | 1.245 | Y. Zhang and W. Yang, Phys. Rev. Lett. 80, 890 (1998) |
| PBEsol | 0.1235 | J. P. Perdew et al., Phys. Rev. Lett. 100, 136406 (2008) | |
| optPBE | 0.175519 | 1.04804 | J. Klimes et al., J. Phys. Cond. Mat. 22, 022201 (2010) |
ただし\( \mu_{\rm GEA}=10/81\simeq0.1235 \)である。
RPBE型 †
\[ F_x(s)=1+\kappa(1-e^{-\mu s^2/\kappa})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+\mu s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
| Method | \( \mu \) | \( \kappa \) | Reference |
| RPBE | 0.21951 | 0.804 | B. Hammer et al. Phys. Rev. B 59, 7413 (1999) |
C09型 †
\[ F_x(s)=1+\mu s^2 e^{-\alpha s^2}+\kappa(1-e^{-\alpha s^2/2})=\left\{ \begin{array}{ll} 1+(\mu+\kappa\alpha/2) s^2&s\rightarrow0\\ 1+\kappa&s\rightarrow\infty \end{array} \right. \]
| Method | \( \mu \) | \( \kappa \) | \( \alpha \) | Reference |
| C09 | 0.0617 | 1.245 | 0.0483 | V. R. Cooper Phys. Rev. B 81, 161104(R) (2010) |
